El comportamiento de los números primos

Los números primos son aquellos que solamente pueden dividirse por 1 y por ellos mismos. A partir de esta definición, el matemático y profesor de la UPV-EHU Raul Ibáñez, explica la importancia de estos números desde un punto de vista matemático, porque todo número natural se puede escribir como multiplicación de números primos, por ejemplo, el 315 es igual a 3 x 3 x 5 x 7. Es decir, los números primos son como los ladrillos a partir de los cuales podemos obtener los demás números. A la hora de estudiar una propiedad de los números, por ejemplo, se puede intentar probarlo para los números primos y luego extenderlo al resto. Otro ejemplo de aplicación de los números primos es su utilización en criptografía.

En esta charla Raul Ibáñez explica cómo saber si existen muchos números primos y cómo se distribuyen dentro de los números naturales.

Números primo infinitos

Supongamos que el conjunto de los números primos fuese finito, es decir, que existiese un número finito de números primos que llamaremos p1, p2, •••, pn, entonces no podría haber ningún primo mayor que ellos, pero resulta que por otra parte se podría construir el número que es el producto de todos los números primos existentes más uno, q = p1p2 ••• pn+1, y resulta que este número sería mayor que todos los primos existentes, y como no es divisible por ninguno de ellos, entonces también sería primo… por lo que se demuestra que el número de primos es infinito.

Números primos gemelos

¿Cómo de cerca y cómo de lejos pueden estar los números primos unos de otros?. Respecto a la primera cuestión, lo más cerca que pueden estar dos números primos, salvo el caso del 2 y el 3 que están uno al lado del otro, es que estén separados únicamente por un número par en medio de los dos números primos, en tal caso se dice que esos dos números primos son gemelos, como son 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19, etc…

Números primo muy alejados

¿Cómo de lejos pueden llegar a estar dos números primos “seguidos”, es decir, la distancia entre un número primo y el siguiente número primo. Si cogemos los 100 primeros números

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,

43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

observamos que la distancia entre 2 y 3 es cero, entre 3 y 5 es uno, o entre 13 y 17 es tres. Así vemos que la mayor distancia entre dos números primos “seguidos” es de 7 números no primos (o compuestos), que se da entre los números 89 y 97, y si consideramos los primos hasta el 200, observamos que a los números primos 113 y 127 les separan 14 números compuestos. Pero, ¿existen “lagunas” más largas entre números primos? ¿y tan largas como queramos?

La respuesta es afirmativa en ambos casos y para demostrarlo vamos a hacer uso de una operación matemática que se llama el “factorial de un número”, de la que ya hemos hablado aquí anteriormente. El factorial de un número consiste en el número que se obtiene al multiplicar todos los números consecutivos entre el 1 y ese número, así el factorial de 7, que se escribe como 7! (7 exclamación) es igual a  1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7, que si hacemos la multiplicación nos da 5.040.

Vayamos al tema que nos ocupa, encontrar dos primos que estén tan alejados como nosotros queramos o buscar lagunas muy grandes de números no primos. El tema es un poco delicado, pero no hay prisa… Imaginemos que queremos encontrar dos primos que entre ellos haya por lo menos 4 números compuestos. Entonces consideramos los números

5!+2 =122 (div. 2),   5!+3=123 (div. 3),   5!+4=124 (div. 4),   5!+5=125 (div. 5),

y resulta que esos cuatro números no son primos, por lo tanto entre el primo anterior a 122 y el siguiente a 125 hay por lo menos 4 números no primos, esos que acabamos de citar. ¿Por qué son no primos (o compuestos) esos 4 números? Cojamos por ejemplo 5! + 2, es divisible por 2, ya que 5!+2= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 +2 = 2 x (5 x 4 x 3 x 1 + 1), sacando el 2 como factor común. 5!+3 es divisible entre 3, 5!+4 entre 4 y 5!+5 entre 5, luego todos son no primos.

De hecho ahí se genera un espacio con más números compuestos, ya que los números primos en cuestión son 113 y 127, y como hemos comentado antes hay 14 números compuestos entre ellos. Solo hemos mencionado 4 en nuestra construcción, es un número mínimo de números compuestos consecutivos que generamos.

Si queremos generar un espacio de, por lo menos, 7 números no primos (y por lo tanto, que la cantidad de números compuestos que hay entre los dos primos correspondientes sean mayor que 7) lo que tenemos que hacer el considerar 8! y los números 8!+2, 8!+3, 8!+4, 8!+5, 8!+6, 8!+7 y 8!+8, es decir, 8 números compuestos consecutivos.

Una vez que hemos aprendido esto, es fácil obtener un espacio de al menos 500 números no primos consecutivos, y en consecuencia entre los correspondientes números primos. Solo hay que tomar los números 501!+2, hasta 501!+501, que son 500 números no primos consecutivos. O si utilizamos el número 1.000.001!, obtendremos un millón de números compuestos consecutivos… vaya pedazo de laguna…!!